Dreieck Winkel berechnen
Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen immer exakt 180°. Kennst du zwei davon, ist der dritte reine Subtraktion. Spannend wird es, wenn du gar keinen Winkel hast, sondern nur Seitenlängen – dann führen Kosinussatz und Sinussatz zum Ziel. Der Rechner oben nimmt beliebige drei Angaben entgegen und gibt dir α, β und γ zusammen mit dem verwendeten Satz aus.
Was du dafür kennen musst
- Zwei Winkel – der dritte ergibt sich aus der Winkelsumme
- oder alle drei Seiten a, b und c (Kosinussatz)
- oder zwei Seiten und einen Winkel (Sinussatz oder Kosinussatz)
Dreieck berechnen
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Die Formeln im Überblick
- α + β + γ = 180°
- Die Winkelsumme. Sie gilt in jedem ebenen Dreieck, egal ob spitz-, recht- oder stumpfwinklig – und ist der schnellste Weg zum dritten Winkel.
- cos α = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)
- Der Kosinussatz, nach dem Winkel umgestellt. Damit bekommst du aus drei bekannten Seiten jeden Winkel – der Winkel gegenüber der längsten Seite ist dabei immer der größte.
- sin α / a = sin β / b
- Der Sinussatz. Praktisch, wenn du eine Seite mit ihrem Gegenwinkel kennst und dazu eine zweite Seite. Achtung: Hier kann es zwei gültige Lösungen geben, weil sin(30°) und sin(150°) denselben Wert liefern.
Beispiel mit Rechenweg
Ein Dreieck hat die Seiten a = 7 cm, b = 5 cm und c = 6 cm. Wie groß ist der Winkel α gegenüber der längsten Seite?
- 1Kosinussatz nach cos α umstellen: cos α = (b² + c² − a²) / (2 · b · c)
- 2Quadrate einsetzen: cos α = (25 + 36 − 49) / (2 · 5 · 6)
- 3Zähler und Nenner ausrechnen: cos α = 12 / 60 = 0,2
- 4Umkehrfunktion anwenden: α = arccos(0,2) ≈ 78,46°
- 5Kontrolle über die Winkelsumme: β ≈ 44,42°, γ ≈ 57,12° – zusammen 180°. Passt.
Typische Fehler
- Der Taschenrechner steht auf RAD statt DEG. Ein Winkel von „1,37“ statt 78,46° ist fast immer dieses Problem.
- Beim Sinussatz wird die zweite Lösung übersehen. Ist der gesuchte Winkel möglicherweise stumpf, musst du auch 180° minus den gefundenen Wert prüfen.
- Seite und Gegenwinkel werden vertauscht. α liegt immer gegenüber von a, β gegenüber von b, γ gegenüber von c.