Dreieck Seiten berechnen
Welche Formel dir die fehlende Seite liefert, entscheidet ein einziger Blick auf das Dreieck: Ist es rechtwinklig, reicht der Satz des Pythagoras. Ist es das nicht, übernimmt der Kosinussatz – er ist sozusagen der Pythagoras mit Korrekturterm für schiefe Winkel. Und wenn du eine Seite samt ihrem Gegenwinkel kennst, geht es über den Sinussatz am schnellsten. Trag deine bekannten Werte oben ein, der Rechner ergänzt die fehlenden Seiten.
Was du dafür kennen musst
- Zwei Seiten im rechtwinkligen Dreieck (Pythagoras)
- oder zwei Seiten und den Winkel dazwischen (Kosinussatz)
- oder eine Seite mit Gegenwinkel plus einen weiteren Winkel (Sinussatz)
Dreieck berechnen
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Die Formeln im Überblick
- c² = a² + b²
- Der Satz des Pythagoras – aber nur im rechtwinkligen Dreieck. c ist dabei immer die Hypotenuse, also die Seite gegenüber dem rechten Winkel und damit die längste.
- a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α
- Der Kosinussatz. Bei α = 90° wird cos α = 0 und die Formel fällt auf den Pythagoras zurück – deshalb ist er dessen allgemeine Fassung.
- a = b · sin α / sin β
- Der Sinussatz, nach einer Seite umgestellt. Du brauchst dafür ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel plus den Winkel gegenüber der gesuchten Seite.
Beispiel mit Rechenweg
Zwei Wände treffen in einem Winkel von 110° aufeinander. Die eine misst 3,00 m, die andere 4,00 m. Wie lang wird die Diagonalstrebe zwischen den beiden Endpunkten?
- 1Kosinussatz ansetzen: a² = b² + c² − 2 · b · c · cos α mit b = 3,00 m, c = 4,00 m, α = 110°
- 2Quadrate bilden: a² = 9 + 16 − 2 · 3 · 4 · cos 110°
- 3Kosinus einsetzen: cos 110° ≈ −0,342 – der Wert ist negativ, weil der Winkel stumpf ist
- 4Ausrechnen: a² = 25 − 24 · (−0,342) = 25 + 8,21 = 33,21
- 5Wurzel ziehen: a = √33,21 ≈ 5,76 m. Die Strebe muss also gut 5,76 m lang sein.
Typische Fehler
- Der Pythagoras wird auf ein schiefwinkliges Dreieck angewendet. Ohne rechten Winkel gilt er nicht – dort brauchst du den Kosinussatz.
- Das Minuszeichen im Kosinussatz wird bei stumpfen Winkeln falsch behandelt. Ein negativer Kosinus verlängert die gegenüberliegende Seite, das doppelte Minus muss stehen bleiben.
- Am Ende wird die Wurzel vergessen. Der Kosinussatz liefert a², nicht a.