Formel-Sammlung - Dreiecks-Rechner

📐 Grundlegende Formeln

Die wichtigsten Formeln für alle Dreiecks-Berechnungen

🔺 Sätze der Trigonometrie

Die drei wichtigsten Sätze für Dreiecks-Berechnungen

🔲 Satz des Pythagoras

a² + b² = c²

Nur für rechtwinklige Dreiecke. c ist die Hypotenuse (längste Seite).

Anwendung: Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind

📐 Kosinussatz

c² = a² + b² - 2ab·cos(γ)

Verallgemeinerung des Pythagoras für alle Dreiecke. Auch als: a² = b² + c² - 2bc·cos(α)

Anwendung: SAS (zwei Seiten und eingeschlossener Winkel) oder SSS (drei Seiten)

〰️ Sinussatz

a/sin(α) = b/sin(β) = c/sin(γ)

Das Verhältnis von Seite zu gegenüberliegendem Winkel ist konstant.

Anwendung: ASA, AAS oder SSA (mit Vorsicht bei SSA!)

📊 Flächen & Eigenschaften

📏 Flächenberechnung

Verschiedene Methoden zur Flächenberechnung

📐 Grundformel

A = ½ · g · h

Fläche = halbe Grundseite mal Höhe. g = Grundseite, h = zugehörige Höhe

Anwendung: Wenn eine Seite und die zugehörige Höhe bekannt sind

📊 Heron'sche Formel

A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

s = (a+b+c)/2 ist der Halbperimeter. Funktioniert nur mit allen drei Seiten.

Anwendung: SSS - wenn alle drei Seiten bekannt sind

🔺 Sinus-Formel

A = ½ · a · b · sin(γ)

Fläche aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel.

Anwendung: SAS - zwei Seiten und eingeschlossener Winkel

📏 Höhen & Radien

Höhen, Umkreis- und Inkreisradius

⬇️ Höhen

ha = 2A/a

Höhe auf Seite a. Entsprechend: hb = 2A/b und hc = 2A/c

Anwendung: Wenn Fläche A und eine Seite bekannt sind

⭕ Umkreisradius

R = abc/(4A)

Radius des Kreises, der durch alle drei Eckpunkte geht.

Anwendung: Benötigt alle drei Seiten und die Fläche

🎯 Inkreisradius

r = A/s

s = (a+b+c)/2 ist der Halbperimeter. Radius des einbeschriebenen Kreises.

Anwendung: Benötigt Fläche A und Halbperimeter s

⭐ Spezielle Dreiecke

Besondere Dreiecksformen mit ihren charakteristischen Eigenschaften

📐

Rechtwinkliges Dreieck

• Ein Winkel = 90°
• a² + b² = c²
• Einfachste Berechnungen
• Hypotenuse ist längste Seite

🔺

Gleichschenkliges Dreieck

• Zwei Seiten gleich lang
• Zwei Winkel gleich groß
• Symmetrisch zur Mittellinie
• Höhe = Mittelsenkrechte

🔺

Gleichseitiges Dreieck

• Alle Seiten gleich lang
• Alle Winkel = 60°
• Höhe: h = (√3/2)·a
• Fläche: A = (√3/4)·a²

📏

30-60-90° Dreieck

• Seitenverhältnis 1:√3:2
• Hälfte vom Gleichseitigen
• Praktisch für Berechnungen
• Häufig in Aufgaben

📐

45-45-90° Dreieck

• Gleichschenklig-rechtwinklig
• Seitenverhältnis 1:1:√2
• Katheten gleich lang
• Hypotenuse = Kathete·√2

🔺

3-4-5 Dreieck

• Klassisches Pythagoras-Tripel
• 3² + 4² = 5²
• Praktisch für Konstruktionen
• Auch als 6-8-10, 9-12-15...

⚡ Quick Reference

🎯 Wichtige Konstanten & Werte

π (Pi)

≈ 3.14159

√2

≈ 1.41421

√3

≈ 1.73205

sin(30°)

= 0.5

sin(45°)

≈ 0.70711

sin(60°)

≈ 0.86603

cos(30°)

≈ 0.86603

cos(45°)

≈ 0.70711

cos(60°)

= 0.5

📋 Berechnungsstrategien

SSS

Kosinussatz → Winkel

SAS